જો $\omega$ એ સમીકરણ $x^3 - 1 = 0$ નું કાલ્પનિક બીજ હોય,તો $\sum_{r=1}^5 (1 + \omega^r + \omega^{2r})$ ની કિંમત શોધો.

એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $x$ છે અને તેનો સરવાળો $5$ છે. તો:

એક $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત શોધો જેનું પ્રથમ પદ $100$ છે અને તેના પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો તેના પછીના છ પદોના સરવાળા કરતાં પાંચ ગણો છે.

જો બે સંખ્યાઓનો $A.M.$ તે સંખ્યાઓના $G.M.$ કરતા $2$ જેટલો વધારે હોય અને સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $4:1$ હોય,તો તે સંખ્યાઓ કઈ છે?

ધારો કે $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ એ એક આપેલ $A.P.$ છે જેનો સામાન્ય તફાવત પૂર્ણાંક છે અને $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n}$ છે. જો $a_{1} = 1$,$a_{n} = 300$ અને $15 \leq n \leq 50$ હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(S_{n-4}, a_{n-4})$ કોના બરાબર છે?

ધારો કે એક $A.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $39$ છે અને તેના છેલ્લા ચાર પદોનો સરવાળો $178$ છે. જો આ $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $10$ હોય,તો $A.P.$ નો મધ્યસ્થ શોધો.